<그림 1>에서 보여주는 바와 같이 일반 비행(general aviation: GA) 사고 분석의 빈도를 보여주고 있음. 이 그림의 데이터는 1983년부터 2000년까지의 미 교통 안전 위원회(U.S. National Transportation Safety Board)의 사고자료를 반영하였음. <그림 1>에서 이용된 모델링 함수의 유용성에 대한 평가는 어렵지 않음.

이 데이터에서의 오차(noise)를 완화시키기 위한 이 함수의 기능은, 주어진 경험상 레벨에 따른 많은 비행 조종사들이 주어진 기간 동안 발생한 사고에 관련이 있을 가능성을 조사관들이 더 정확하게 예측할 수 있도록 도와줌. 또한 이러한 연구는 비행조종사 훈련에 대한 자원을 할당하거나 비행 위험의 통계적 공변량을 위한 기초를 위해서도 유용하게 이용될 것임. <그림 1>의 a그래프를 보면 5,000시간 이하의 비행조종사들은 더 많은 사고가 발생하는 범위에 포함되는 것을 알 수 있고 이러한 경우에 대해 정책 입안자들은 초점을 맞추고 있음.

그림 1. 히스토그램의 빈도 그래프 a) x축은 계기판을 이용하는 일반 비행 조종사들의 전체 비행시간의 함수에 대한 치명적인 사고수를 y축으로 설정함. 즉, x축은 전체 비행수, y축은 치명적인 사고수를 나타냄, 그래프 b는 a에서 사용한 동일한 데이터를 자연로그로 변형하여 나타냈음.

 

이상적으로, 우리는 데이터에 내재되어 있는 인과관계에 대하여 이론적으로 동기 부여한 모델링 함수를 선호함. 이 연구에서의 비행 위험에 대한 경우, 세 개의 중요한 과정이 일반적 비행 사고의 비율에 영향을 주었음.

1. 총 비행시간이 항공기 조종사에게 영향을 미치는 절차
a. 일반 비행은 시간과 비용 면에서 비용이 많은 드는데다가, 비행 시간은 축적이 됨. 우리는 이 연구에서 많은 비행조종사가 상대적으로 적은 비행시간을 가지고 있는 것으로 예측함.
b. 비행 조종사는 서로 다른 비율로 비행시간을 축적함. 비행 조종사의 고용 상황과 경제적 사회적 환경의 변동, 매해 계절적 요인에 의한 변화로 인해 비행 시간이 변화하기 때문임.
c. 일반적인 비행기를 조정하는 조종사들 중 상업적인 비행 조종사들(전문적으로 급여를 받으며 비행하는 조종사들)의 경우는 상업적인 목적으로 비행을 한 시간 역시 그들의 총 비행 시간에 포함함. 미국 국립 교통 안전위원회 (NTSB)의 데이터는 상업적 비행이 일반 비행보다 통계적으로 안전하다는 것을 확인하였음.
d. 비행 조종사들은 그들의 경제적인 요인이나 나이 등과 같은 이유로 인하여 독립적인 비율로서 비행 조종사 일을 하거나 그만둠.
e. 비행 조종사들은 새로운 범주에 속하는 비행 자격증이나 면허증을 획득하게 되면 하나의 범주에서 다른 범주로 이동을 함.

2. 각 조종사들의 비행 위험과 관련된 프로세스
a. 조종사들은 타고난 성향이 다르고, 평균 기술의 차이가 있음.
b. 조종사들이 연수를 받을 때, 비행 위험이 낮은 성향이 있음. 그러나 처음으로 홀로 비행을 한 이후로는 그 위험도가 증가함. 후에 조종사들이 비행 경험이 증가하면서부터 위험도가 다시 낮아지게 됨(크레이그, 2001).
c. 이륙과 착륙, 야간 비행과 좋지 않은 날씨에서의 비행과 같은 경우 비행의 위험도는 증가함.
d. 조종사들은 각자의 비행 경험에 따라 위험에 노출되는 경우의 수가 달라짐. 예를 들어, 단거리를 비행하는 조종사의 경우 이륙과 착륙을 장거리 비행을 하는 조종사보다 더 자주 하게 됨. 그러므로 비행시간만으로 위험을 나타내는 방법은 완벽하다고 할 수 없음.

이러한 복잡성이 존재하는 가운데, 이 보고서에서는 이러한 종류의 데이터를 이용한 모델을 세우는 노력을 하였음. 그러나 이러한 과정은 아주 복잡하고 힘이 듦. 조지 박스(George Box)에 의하면 “모든 모델은 틀렸다. 그러나 그 중 몇몇은 유용하다”(Box & Draper, 1987, p.424)라고 하였음. 이 보고서에서, 이러한 데이터들이 어떠한 모델링 함수에 적합한지를 알아 보는 것에서 시작할 수 있음. 만약 그러한 모델링 함수를 찾을 수 있게 된다면 비록 그 모델이 이론적으로 완벽하지는 않다고 하더라도 최소한 발생하는 사고 비율에 대한 기대값에 대하여 유용한 예측을 할 수 있을 것임.

이 보고서에서는 실제 데이터 사이의 최소제곱법의 표준 기술과 두 개의 구성 요소 함수를 포함한 단순 모델을 이용하여 이 제한된 목표를 구현하였음. 첫 번째 구성 요소는 단순 로그-변형(log-transform)임. 두 번째 구성요소 함수는 자연 로그e에 기초한 확률 밀도 함수임. 확률 밀도 함수의 함수 그래프의 곡선 이하의 영역의 합은 1이고 이러한 함수를 이용한 통계적 분석을 통해 유용한 결과를 얻음(Soanier & Oldham, 1987). 여기에서는 가우시안(Gaussian), 포아송(Poisson), 로그-정규(log-normal), 베타(beta), 감마(gamma) 확률 밀도 함수를 포함함.
 

4개의 후보 모델에 대하여 검증을 하였음. 각 모델은 베타, 감마, 로그-정규, 그리고 와이블(Weibull) 확률 밀도 함수를 따르는 모델이었음. 이러한 함수는 8개의 미국 일반 비행 조종사 데이터 세트를 이용하여 데이터 적합도를 검증하였음. 이러한 데이트 세트는 두 기간 동안 수집하였음(1983-2000년 과 2001년 5월부터 2011년까지의 기간). 상처의 범주는 심각한 상처 vs. 치명적 상처로 구분 하였음. 그리고 계기판 기준을 이용한 비행인지 계기판 기준을 이용하지 않은 비행인지에 대한 구분을 하였음. 이 연구에서 이용된 모든 데이터는 위의 특정 기간 동안 미국에서 발생한 일반 비행 사고를 포함하고 있는데 그 사고에 대하여 조종사의 법적 책임이 있는지 없는지에 대해서는 구분하지 않았음.
 

이 보고서에서는 일반 비행을 하는 조종사들의 비행 시간과 치명적인 사고 발생과의 관계에 대하여 적합한 모델링 함수를 찾는 것이 목적임. 그러한 모델링 함수를 찾기 위해 감마, 로그-정규, 그리고 와이블 확률 밀도 함수에 대한 적합도 검증을 하였음. 적합도 검증의 측정값의 범위는 0.86에서 0.99안에 들었으며, 이는 적합도가 매우 좋음을 보여줌. 또한 세 모델 모두 유의함에 있어 차이가 없는 것으로 나타났음.

비행 시간에 대한 로그-변형은 이 모델들의 데이터 적합도가 유의하도록 하는데 중요한 역할을 하였음. 로그 변형을 하지 않은 경우는 적합도 검정에서 실패하였음. 변형하기 이전의 원래 데이터의 경우, 오른쪽 꼬리(right tail)가 극단적으로 길게 나타나는 양상이 보였음. 이는 조종사들의 나이와 조종을 그만두는 것과 관련이 있음. 그리고 또한 상대적으로 적은 수의 조종사들이 많은 수의 상업적 비행을 하는 것으로 나타났음. 로그 변형은 효과적으로 긴 꼬리를 압축하여 데이터 적합도를 성공적으로 만족시키도록 하였음.

로그 정규 밀도 함수와 와이블 확률 밀도 함수 역시 이 데이터들을 이용했을 때, 수용할 만한 적합도를 가지고 있는 것으로 나타났으나, 감마 확률 밀도 함수를 이용했을 때 몇 가지 실용적이 이점이 있는 것으로 나타났음. 감마 확률 밀도 함수는 적합도 함수 주위의 신뢰구간을 측정하였을 때, 95% 신뢰구간(confidence interval, CI)을 만족시킴. 이 신뢰구간의 넓이는, 표본의 크기와 내재된 데이터 오차를 포함함. 데이터의 특성으로 인해, 비행 시간의 중간 범위인, 대략 50~5,000시간에 대한 예측이 가장 신뢰성 있게 나타날 가능성이 있음. 다행히도, 대부분의 일반 항공기의 조종사는 이 범위 안에 포함되는 것으로 나타났음.

인과관계는 분명히 여러 프로세스에 관련이 있음. 감마 확률 밀도 함수의 경우는 독립적인 지수 디케이 과정의 내제된 합으로 나타났을 가능성이 있고, 와이블 프로세스의 경우에는 “실패 비율”에 포함되었을 수 있으며, 로그-정규 확률 밀도 함수의 경우 다변량 랜덤 프로세스에 나타났을 수 있음. 이론화 하는데 있어, 여러 요인(factor)이 가지고 있는 특징에 의해 저해가 되고 있음. 예를 들어, 상대적으로 안전한 상업용 비행 시간이 총 비행시간에 합산되는 것과, 계기판 표준을 이용하지 않은 조종사들이 계기판 표준을 이용하게 되었다거나, 그리고 어떠한 상황이 특정 조종사들에게는 다른 조종사들에 비해 더 위험한 상황이 되는 경우가 있기 때문에 비행의 위험과 비행시간과의 관계가 단순히 선형적으로 비례하지 않는다는 것을 나타냄. 그러므로, 현재 노력의 목적은 큰 범위로 봤을 때, 이 연구에서 사용된 데이터들을 모델화 할 수 있다는 것을 보여주는 것에 있고 이론화 할 수 있다는 것에 있음.

몇 가지 주의를 기울일 부분을 고려하면서, 첫 번째 변수로 조종사 계기반 이용과 두 번째 변수로 사고의 심각성에 대하여 지정하여, 일반 비행기 사고의 빈도를 총 비행 시간으로부터 예측할 수 있음. 적합도 검증은 계기판을 이용하지 않는 조종사의 데이터에 있어서 그 적합도가 우수한(excellent)것으로 나타났고 계기판을 이용하는 경우는 적절한(good) 것으로 나타났음.  각 데이터 세트에서 추출된 총 비행 시간의 중간값은 항공 정책 입안자에서 유용하게 이용될 것임.